波の干渉
さてさて、昨日の続きとまいりましょー
今回は音波ではなく、光について議論します。
光源1，2から発せられる光をそれぞれ以下のように表現する。
- $$y_1=a_1\sin\theta_1$$
- $$y_2=a_2\sin\theta_2$$
これらの合成波は $$y=y_1+y_2=a_1\sin\theta_1+a_2\sin\theta_2$$
以下ベクトルを用いる
- $$\vec{a}_1=a_1\left(\begin{array}{cc}\cos\theta_1 \\\sin\theta_1 \\\end{array}\right)$$
- $$\vec{a}_2=a_2\left(\begin{array}{cc}\cos\theta_2 \\\sin\theta_2 \\\end{array}\right)$$
これに対して$$\vec{a}1+\vec{a}2=\vec{a}=a\left(\begin{array}{cc}\cos\theta \\sin\theta \\end{array}\right)$$を考えると
- $$a_1\cos\theta_1+a_1\cos\theta_2=a\cos\theta$$
- $$a_1\sin\theta_1+a_1\sin\theta_2=a\sin\theta$$
したがって合成波の振幅はaである。
$$a2=|vec{a}1+vec{a}2|^2$$
$$={a_1}^2+{a_2}^2+2\vec{a}1\cdot\vec{a}2$$
$$={a_1}^2+{a_2}^2+2a_1a_2(\cos\theta_1\cos\theta_2+\sin\theta_1\sin\theta_2)$$
$$={a_1}^2+{a_2}^2+2a_1a_2\cos\phi$$（位相差：$$\phi=\theta_1-\theta_2$$）
ここで、親しみやすいように例を挙げてみましょう。
光源1,2から観測点pまでの距離をそれぞれ$$l_1,l_2$$とおくと、このとき
- $$\theta_1=\omega (t-\frac{l_1}{c})+\alpha_1=\omega t-\frac{2\pi}{\lambda}l_1+\alpha_1$$
- $$\theta_2=\omega (t-\frac{l_2}{c})+\alpha_2=\omega t-\frac{2\pi}{\lambda}l_2+\alpha_2$$
したがって、$$\phi=-\frac{2\pi}{\lambda}(l_1-l_2)+(\alpha_1-\alpha_2)$$
これゆえ、よく高校の教科書には『干渉は行路（光路）差で決まる！』と書かれてるんですねw
$$\phi$$が確定値を持つとき
$$\cos\phi=1\Longleftrightarrow \phi=2m\pi$$ (m:整数)のとき
$$a_{max}= a_1 + a_2$$
したがって2つの波は強めあう
$$\cos\phi=-1\Longleftrightarrow \phi=(2m+1)\pi$$ のとき
$$a_{min}= |a_1-a_2|$$
したがって2つの波は弱めあう
$$\phi$$がランダムに変動し確定値を持たないとき
二つの波は干渉せず、観測値としては
$$\bar{a^2}={a_1}^2+{a_2}^2+2a_1a_2\bar{\cos\phi}={a_1}^2+{a_2}^2$$
なお、別光源の光は$$\phi=-\frac{2\pi}{\lambda}(l_1-l_2)+(\alpha_1-\alpha_2)$$において、
$$-\frac{2\pi}{\lambda}(l_1-l_2)$$はpにより定まるが、
$$\alpha_1-\alpha_2$$は常にランダムに変化する。
したがって干渉することは無い。
こんな感じですかね。
皆さん、頑張って波の干渉習得しましょう！
（特に自分自身・・・・）
