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ShiftCrops つれづれなる備忘録

CTF関連の事やその他諸々

波の干渉

さてさて、昨日の続きとまいりましょー

今回は音波ではなく、光について議論します。

 

光源1,2から発せられる光をそれぞれ以下のように表現する。

  • $$y_1=a_1\sin\theta_1$$
  • $$y_2=a_2\sin\theta_2$$

これらの合成波は $$y=y_1+y_2=a_1\sin\theta_1+a_2\sin\theta_2$$

以下ベクトルを用いる

  • $$\vec{a}_1=a_1\left(\begin{array}{cc}\cos\theta_1 \\\sin\theta_1 \\\end{array}\right)$$
  • $$\vec{a}_2=a_2\left(\begin{array}{cc}\cos\theta_2 \\\sin\theta_2 \\\end{array}\right)$$

これに対して$$\vec{a}1+\vec{a}2=\vec{a}=a\left(\begin{array}{cc}\cos\theta \\sin\theta \\end{array}\right)$$を考えると

  • $$a_1\cos\theta_1+a_1\cos\theta_2=a\cos\theta$$
  • $$a_1\sin\theta_1+a_1\sin\theta_2=a\sin\theta$$

したがって合成波の振幅はaである。

 

$$a2=|vec{a}1+vec{a}2|^2$$

$$={a_1}^2+{a_2}^2+2\vec{a}1\cdot\vec{a}2$$

$$={a_1}^2+{a_2}^2+2a_1a_2(\cos\theta_1\cos\theta_2+\sin\theta_1\sin\theta_2)$$

$$={a_1}^2+{a_2}^2+2a_1a_2\cos\phi$$(位相差:$$\phi=\theta_1-\theta_2$$)

 

 

ここで、親しみやすいように例を挙げてみましょう。

光源1,2から観測点pまでの距離をそれぞれ$$l_1,l_2$$とおくと、このとき

  • $$\theta_1=\omega (t-\frac{l_1}{c})+\alpha_1=\omega t-\frac{2\pi}{\lambda}l_1+\alpha_1$$
  • $$\theta_2=\omega (t-\frac{l_2}{c})+\alpha_2=\omega t-\frac{2\pi}{\lambda}l_2+\alpha_2$$

したがって、$$\phi=-\frac{2\pi}{\lambda}(l_1-l_2)+(\alpha_1-\alpha_2)$$

これゆえ、よく高校の教科書には『干渉は行路(光路)差で決まる!』と書かれてるんですねw

 

 

$$\phi$$が確定値を持つとき

$$\cos\phi=1\Longleftrightarrow \phi=2m\pi$$ (m:整数)のとき

$$a_{max}= a_1 + a_2$$

したがって2つの波は強めあう

$$\cos\phi=-1\Longleftrightarrow \phi=(2m+1)\pi$$ のとき

$$a_{min}= |a_1-a_2|$$

したがって2つの波は弱めあう

 

$$\phi$$がランダムに変動し確定値を持たないとき

二つの波は干渉せず、観測値としては

$$\bar{a^2}={a_1}^2+{a_2}^2+2a_1a_2\bar{\cos\phi}={a_1}^2+{a_2}^2$$

 

 

なお、別光源の光は$$\phi=-\frac{2\pi}{\lambda}(l_1-l_2)+(\alpha_1-\alpha_2)$$において、

$$-\frac{2\pi}{\lambda}(l_1-l_2)$$はpにより定まるが、

$$\alpha_1-\alpha_2$$は常にランダムに変化する。

したがって干渉することは無い。

 

 

こんな感じですかね。

皆さん、頑張って波の干渉習得しましょう!

(特に自分自身・・・・)