読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

ShiftCrops つれづれなる備忘録

CTF関連の事やその他諸々

二体問題

本日は初の生苑田先生の授業を受けてきました!!

前々から某束進ハイスクールで高いお金を取られながら見ていた、あの受験物理界の代表ともいえる方!

苑田尚之先生の授業を目の前で見られるとは・・・

まあ分かるとは思いますが、私は苑田教(?)信者ですww

とか名乗っときながら、しっかりと物理が押さえられているのかと問われれば・・・ なんとも答えられないことがお恥ずかしい限りですorz

 

 

ひとまず今日は二体問題についてのさらりとした説明を残しておきます。

まず、質量$$m_1,m_2$$の質点$$M_1,M_2$$の位置ベクトルをそれぞれ$$\vec{r}1,\vec{r}2$$、加える外力を$$\vec{f}1,\vec{f}2$$と置く。

このとき、$$M_1$$が$$M_2$$に及ぼされる力を$$\vec{F}_{12}$$と表すことにする。

それぞれの質点に対して運動方程式を立てると、

  • $$m_1 \ddot{\vec{r}_1} = \vec{F}_{12} + \vec{f}_1$$  ・・・①
  • $$m_2 \ddot{\vec{r}_2} = -\vec{F}_{12} + \vec{f}_2$$  ・・・②
これは、重心位置$$\vec{r}_G = \frac{m_1\vec{r_1} + m_2\vec{r}_2}{m_1 + m_2}$$ と相対位置$$\vec{r}_r = \vec{r}_1 - \vec{r}_2$$を用いると、
①+②より
重心運動方程式:$$m_1 \ddot{\vec{r}_1} + m_2 \ddot{\vec{r}_2} = \vec{f}_1+ \vec{f}_2$$
これは、代表点(重心)の運動と解釈できる。
また、①/$$m_1$$ - ②/$$m_2$$より $$\ddot{\vec{r}_1}-\ddot{\vec{r}_2}=(\frac{1}{m_1}-\frac{1}{m_2})\vec{F}_{12}+\frac{\vec{f}_1}{m_1}-\frac{\vec{f}_2}{m_2}$$
したがって
相対運動方程式:$$\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\ddot{\vec{r}_r} =\vec{F}_{12}+\frac{m_2\vec{f}_2-m_1\vec{f}_1}{m_1+m_2}$$
このとき、$$\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}=\mu$$:換算質量という
重心運動と相対運動に分けて考えるとき、重心から見た$$M_1,M_2$$の位置をそれぞれ$$\vec{r}_{G1},\vec{r}_{G2}$$とすると、
  • $$\vec{r}_1-\vec{r}_G=\vec{r}_{G1}=\frac{m_2}{m_1+m_2}\vec{r}_r$$
  • $$\vec{r}_2-\vec{r}_G=\vec{r}_{G2}=\frac{m_1}{m_1+m_2}\vec{r}_r$$
ここで$$\vec{v}=\dot{\vec{r}}$$とおく。 このとき全運動量Pは、 $$P=m_1\vec{v}_2+m_2\vec{v}_2=(m_1+m_2)\vec{v}_G$$ 内部運動量を$$P_{in}$$は、 $$P_{in}=m_1\vec{v}_{G1}+m_2\vec{v}_{G2}$$ $$=m_1\frac{m_2}{m_1+m_2}\vec{r}_r+m_2\frac{m_1}{m_1+m_2}\vec{r}_r=\vec{0}$$ これより重心から見ると$$M_1,M_2$$は正反対側、反対向きに、質量の逆比の距離、速さで動いている。 また、$$\sum\vec{f}=\vec{0}$$のとき、P=一定 より $$\vec{v_G}$$=一定     全運動エネルギーKは、 $$K=\frac{1}{2}m_1{v_1}^2+\frac{1}{2}m_2{v_2}^2$$ $$=\frac{1}{2}m_1|\vec{v}_G+\vec{v}_{G1}|^2+\frac{1}{2}m_2|\vec{v}_G+\vec{v}_{G2}|^2$$ $$=\frac{1}{2}(m_1+m_2){\vec{v}_G}^2+(\frac{1}{2}m_1{\vec{v}_{G1}}^2+\frac{1}{2}m_2{\vec{v}_{G2}}^2)+\vec{v}_G(m_1\vec{v}_{G1}+m_2\vec{v}_{G2})$$ $$=K_G$$(重心K.E.)$$+K_{in}$$(内部K.E.)   ここで内部運動エネルギーは、 $$K_{in}=\frac{1}{2}m_1|\frac{m_2}{m_1+m_2}\vec{v}_r|^2+\frac{1}{2}m_2|\frac{m_1}{m_1+m_2}\vec{v}_r|^2$$ $$=\frac{1}{2}\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}{v_r}^2$$ $$(=\frac{1}{2}\mu{v_r}^2)$$ $$=K_r$$(相対K.E.)     まぁこんな感じですかなw